Мы идем с конем по полю вдвоем

[iad58]

1	30	9	20	3	24	11	26
16	19	2	29	10	27	4	23
31	8	17	14	21	6	25	12
18	15	32	7	28	13	22	5

Рассказала замечательная runa_aruna, а я пересказываю, ибо интересно: Если половину шахматной доски раскрасить вот так, а затем прогулять по ней коня, как показывает цифирь от 1 до 32, цвета полей будут чередоваться на его пути в таком же порядке, как если просматривать доску сверху вниз строку за строкой.

Это заметил кашмирский поэт-просодист-языковед Рудрата (примерно 900 г.). Еще говорят, что он сочинил стишок из четырех восьмисложных строк, который можно написать на доске и читать как построчно, так и поконно, то есть конеобразно.

3	22	13	28	1	32	15	18
12	25	2	21	14	17	8	31
23	4	27	10	29	6	19	16
26	11	24	5	20	9	30	7

Чтобы обойти целую доску, можно представить, что половинка наша — верхняя, конечное поле (32) — c5, пойти с него на a4 (новое поле 1) и обойти нижнюю половину точно так же. А можно пойти на e4 и пройтись по нижней половине так, как справа, только при таком маршруте раскрасить доску нужным образом уже не удастся.

1	22	9	28	3	24	11	32
16	19	2	23	10	29	4	25
21	8	17	14	27	6	31	12
18	15	20	7	30	13	26	5

Зато возможен, например, такой маршрут, как слева (Guy de Chivaler из англо-норманской рукописи 1275 г.). Он отличается от маршрута Рудраты только последней третью (с 20-го хода), а узор совсем другой.

Comments

Забавно!

[fiviol.livejournal.com]

1. Насколько я понял, рыжий цвет в верхней диаграмме у клетки 21 означает, что тут можно ставить любой цвет (в частности, серый или желтый), так как здесь номер хода коня совпадает с номером клетки при обходе слева направо (как и у клетки 1). Можно, например, 1 закрасить серым, а 21 желтым, тогда в каждой строке будет по 4 серых и желтых клетки.
2. Неужели в стихах Рудраты в клетки вставлялись слоги, и получалось что-то осмысленное при обоих способах чтения? Верится с трудом. Или речь идет только, допустим, об ударении (ударный желтый и безударный черный, или наоборот).
3. Утверждение о том, что диаграмму справа раскрасить не удастся - неверное. При любом способе обхода конем доски свойство, подмеченное Рубратой будет выполняться, если доску просто закрасить в шахматном порядке (в частности, на диаграмме справа).
4. А внизу имеется в виду, что есть клетки трех цветов (любой цвет можно ставить только в клеточку 1)?

Re: Забавно!

[iad.livejournal.com]

1. Именно! А также в каждом столбце будет по две клетки каждого цвета, за несколько досадным исключением F и H; впрочем, с просодической точки зрения это не имеет значения.

2. Источники расходятся. Вроде бы Murray в A History of Chess сообщает, что да, а George Jelliss, как и ты, не верит (не на китайском же писал Рудрата!). Скорее речь может идти о размере (так считает и runa_aruna), только не об ударных и безударных, а о тяжелых и легких слогах (санскритская поэзия устроена так же, как древнегреческая). Вот тут-то и может играть роль то, что в каждой строке одинаковое число клеток каждого цвета: вес-то суммируется построчно.

3. А тут ты не прав. Я тоже так подумал было; но при обычной шахматной раскраске построчное чтение (a4—b4, …, g1—h1) включает троекратный переход на поле того же цвета (h4—a3, h3—a2, h2—a1), а конь меняет цвет поля на каждом шагу.

4. Да. Впрочем, любые два (или три) цвета можно объединить, но ведь интереснее, если цветов больше.

Re: Забавно!

[fiviol.livejournal.com]

3. Ах ты ж!

10 цветов

[iad.livejournal.com]

4. А чтобы было больше цветов, можно сделать такой обход, его Jelliss придумал:

1	30	15	20	5	22	9	26
16	19	2	29	12	25	6	23
31	14	17	4	21	8	27	10
18	3	32	13	28	11	24	7

Re: 10 цветов

[fiviol.livejournal.com]

Математический смысл всех этих наблюдений состоит в следующем:
обход конем шахматной доски задает перестановку из 32 чисел: номеру хода сопоставляется номер клетки, на которую конь попал на этом ходу. Всякая перестановка разбивается в произведение независимых циклов (орбит) - разные цвета на диаграммах означают как раз разные орбиты.
Всего перестановок 32! (32 факториал) = 1*2*...*32. Конечно, далеко не все они пораждаются ходом коня (назовем такие коневыми перестановками). Из всех перестановок есть только 31!, то есть 1/32 часть, которые являются одним единым циклом - то есть соответствуют раскраске всего одним цветом (надо ожидать, наверное, что и доля таких перестановок среди коневых того же порядка). Так что диаграмма справа есть, скорее, интересная находка, а не неудача - таких мало.
Думаю, изучать коневые перестановки все-таки сложновато из-за некоторой неестественности хода коня. Но задачки на то, чтобы в удовольствие "поскакать" ставить можно: например, какое максимальное число орбит возможно? 10 ты предъявил. А больше?
Вообще-то, способов обойти поле 4*8 конем, видимо, не так много.

Re: 10 цветов

[iad.livejournal.com]

Конечно, это разбить доску на орбиты (независимые циклы) не удалось в диаграмме справа, а то, что не удалось, — это интересный результат, и то, что его удалось найти, — хорошо.

Сколькими же способами можно обойти поле 4×8 конем? У меня компьютер как раз считает; пока он определил, что если отправиться с поля #1 (верхнего левого), получается 7630 маршрутов. Всего будет, наверное, не 32 раза по столько, а несколько больше.

[runa-aruna.livejournal.com]

Ужасы шахматного мира...
:)
А я тебе там как раз только что ответила, и насчет великих болгариев тоже.